در هندسه دیفرانسیل ، معیارهای ریمانی مفهوم اصلی هندسه ریمانی است . اولین مقدمه توسط برنهارد ریمان در سال 1854 ارائه شد. با این حال، مقاله او در مورد این موضوع پس از مرگ او، در سال 1868 منتشر شد. در همان سال، هرمان فون هلمهولتز نتایج مشابهی را منتشر کرد.
سنجه های ریمانی خانواده های قابل تمایز اشکال درجه دوم قطعی مثبت هستند .
تعاریف معیار متریک ریمانی در هندسه دیفرانسیل
- در یک بسته بردار E→M ، یک متریک ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی g داده‌های حاصلضرب درونی g x در هر فیبر Ex است که به روشی صاف به نقطه پایه x متغییر در M بستگی دارد . به طور رسمی تر، x↦g x یک بخش قطعی مثبت در تمام نقاط بسته بردار S 2 E → M اشکال دوخطی متقارن است. ما می گوییم که داده ( E,g ) یک بسته ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی است .
- برای دو دسته ریمانی ( E,g ) و ( F,g’ ) روی M ، شکلی از بسته‌های ریمانی f 🙁 E,g )→( E,g’ ) شکلی از بسته‌های برداری f:E→E’ است. به طوری که برای هر نقطه x از M ، نقشه خطی f x :E x →F x یک ایزومتری خطی است ، یعنی:
∀�،�∈�ایکس،�ایکس”(�ایکس(�)،�ایکس(�))=�ایکس(�،�).
- اگر M یک منیفولد دیفرانسیل باشد، یک متریک ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی روی M به سادگی یک متریک ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی روی بسته مماس آن است . مبنا ( M,g ) یک منیفولد ریمانی است .
- با توجه به دو منیفولد ریمانی ( M,g ) و ( N,g’ )، ایزومتریک F 🙁 M,g )→( N,g’ ) یک نقشه قابل تمایز F:M→N است به طوری که نقشه مماس dF 🙁 TM,g )→( TN,g’ ) مورفیسم دسته های ریمان است. این شرط آخر بازنویسی می شود: F*g’=g .
نمونه های معیار متریک ریمانی در هندسه دیفرانسیل
- هر محصول نقطه ای ⟨،⟩on ℝ n بر روی هر بسته بردار بی اهمیت M×ℝ n →M یک متریک ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی را القا می کند:�ایکس((ایکس،�)،(ایکس،�))=⟨�،�⟩.
- فرض کنید g یک متریک ریمانی روی E→M و P یک منیفولد باشد. برای یک تابع قابل تمایز ψ: P→M ، روی بسته بردار عقب کشیده ψ* E→P یک متریک ریمانی منحصربفرد ψ* g وجود دارد ، به طوری که مورفیسم طبیعی ψ* E→E هم شکلی از دسته های ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی است.
- اگر g یک متریک ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی در E → M باشد ، با محدودیت ، g یک متریک ریمانی در طراحی پمپ دیافراگمی را بر روی هر زیرمجموعه برداری E تعریف می‌کند.
- حد متریک مینکوفسکی دس2=در مقابل 2 دشما 2-دایکس2-دآنجا2-د�2وقتی c به بی نهایت تمایل دارد یک متریک بسته نرم افزاری است. زمان مطلق می شود و فیبر فضا-زمان روی آن، تبدیل گالیله را می یابیم . در دو لحظه متفاوت متریک تفاوت زمانی است. در همان لحظه، در فیبر فضایی هم شکل بهآر3، متریک حاصل ضرب اسکالر معمولی است.
